摘要：重叠保留法的一些简单理解，主要针对为什么移位长度为n-1作出讨论

一、重叠保留法介绍：

  仍然采用分段求卷积再组合的方法。
  该方法与重叠相加法的区别为：

ⅰ. 对序列x(n)以M为长度重叠分段为xi(n) ，其后段与前段有N-1个重叠点；

ⅱ. 每段以M为周期计算循环卷积 ；(用FFT)

ⅲ. 将每段得到的循环卷积结果的前N-1个点去掉(这是循环卷积中的混叠部分)，然后将各段剩余部分(对应线性卷积结果)首尾衔接起来，即得到最终结果。

重叠保留法卷积示意图

二、理解过程

  下面结合课本第三章的一道课后题来解释清楚重叠保留法的过程

21.我们希望利用h（n）长度为N=50的FIR滤波器对一段很长的数据序列进行滤波处理，要求采用重叠保留法通过DFT（即FFT）来实现。所谓重叠保留法，就是对输入序列进行分段（本题设每段长度为M=100个采样点），但相邻两段必须重叠V个点，然后计算各段与h（n）的L点（本题取L=128）循环卷积，得到输出序列y(n)，m表示第m段循环卷积计算输出。最后，从y(n)中选取B个样值，使每段选取的B个样值连接得到滤波输出y(n)。
（1）求V；（2）求B；

分析:
  不管是重叠相加法还是重叠保留法，其本质都是用循环卷积去代替线性卷积，但是循环卷积根据情况（L>=N+M-1）可能等于或者不等于线性卷积，我们需要对多余的部分做操作，是保留还是如何。下面看一下这题的示意图
示意图

从上往下依次：

  1. 被分段的输入序列之一
  2. 滤波器的单位取样响应h(n)
  3. h(n)以L为周期进行周期延拓后的反转序列

  实际的线性卷积只有①段，因此线性卷积和循环卷积要想相等，必须把②段移出0~99外，即79~99共21个点。因此作循环卷积时，前21个点会发生混叠，即ym(0)~ym(20)要舍去。
  因此相邻两段必须重叠21个点，即下一段xm(n)要从79开始，再有21个无效的输出时，①段的左侧与上一次的x(n)的n=99重合，因此第一次ym(n)取样值也只取到这里，即取第21到99点作为输出，而不取到128，否则会有重复。
  但是实际生活中，往往L是未知的，但是滤波器是固定的，滤波器确定了，h(n)的长度就确定了，所以一般干脆取N-1点作为重叠部分，而不需要考虑L，这里为了计算机计算方便，L会取比分段序列每一段长大的2的幂次，如本题中27>100。这里的分段长度可能实际生活中是不确定了，而我们21点就是据此算出来的，为了形成统一的算法，取重叠部分为N-1，因为②段的长度就是N，所以一定会被移出去。保证了循环卷积和线性卷积结果一致。